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日本大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第027回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{26}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{27}\) を求めなさい。（7点）

第2問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-13)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 338\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 338\) を解きなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=13、AC=26、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+13)(n+14)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{28}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第5問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+169=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{676}+\frac{y^2}{169}=1 \]

の第1象限の点 \(P(26\cos t,13\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(13\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{1300075}{16777216}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(13\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{8388608}{35102025}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-13)=338\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{13<x\le26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=169+676-676\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{13\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{169}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{13} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+13}-\frac1{n+14}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{14(n+14)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{14} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-169)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-13\ \text{または}\ t\ge13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(169\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{169}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{26}+\frac{y\sin t}{13}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(26/\cos t\)、\(13/\sin t\)。面積は \(169/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=338,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(169\(1-x^2/676\)\)。\(-26\le x\le26\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{17576}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。