南山大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第051回
この回のテストポイント
- 第1問：1の累乗根と積・距離の和
- 第2問：対数の真数条件と単調性
- 第3問：部分分数分解と有限和の評価
- 第4問：区分求積と和の極限
- 第5問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第6問：直角三角形の三角比と内接円
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^9=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{8}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{8}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{8}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第2問 対数の真数条件と単調性（17点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-9)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（5点）
（2）\(F(x)=\log_2 162\) を解きなさい。（5点）
（3）\(F(x)\le\log_2 162\) を解きなさい。（7点）
第3問 部分分数分解と有限和の評価（17点）
\(a_n=\frac1{(n+9)(n+10)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）
（3）\(S_n\ge\frac1{20}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第4問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{9n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第5問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子9人、女子9人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
第6問 直角三角形の三角比と内接円（16点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=9、AC=18とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(9\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{8}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{8}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-9)=162\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{9+x}\)、
は \(g(x)=1/(9+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
面積は \(81\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。