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南山大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第045回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=100\\) 上の点 \(P(t,100/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-11\cdot2^x+10\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項10、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第4問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-10x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を10回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　直角三角形の三角比と内接円（16点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=10、AC=20とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=100/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-100/t=-100(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{100}=2,\quad(2t,0),(0,200/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(200/t\)。その積が \(400\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{200} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+200/t\ge40\)。等号は \(t=10\) のとき。

\[ \boxed{\min=40,\quad P=(10,10)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-11u+10=(u-1)(u-10)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_210} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_210} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-\frac{81}{4},\quad x=\log_2\frac{11}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=10\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=10(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{10}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-10x}(1-10x)\)。指数因子は正なので \(x=1/10\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{10},\quad\max f=\frac1{10e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{10x+1}{100}e^{-10x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(10a+1)e^{-10a}}{100}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-10a}\) と \(ae^{-10a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{100}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(10\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{45}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1023}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{15}{341}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=10\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

面積は \(100\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{4\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=5(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。