J 受験ヒーロー

南山大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=25\\) 上の点 \(P(t,25/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-6\cdot2^x+5\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第3問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(5,1),\ \mathbf b=(1,5) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第4問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-5x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第5問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(5,0)、半径がともに5の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

第6問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(3,4,5,6,7\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=25/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-25/t=-25(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{25}=2,\quad(2t,0),(0,50/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(50/t\)。その積が \(100\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{50} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+50/t\ge20\)。等号は \(t=5\) のとき。

\[ \boxed{\min=20,\quad P=(5,5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-6u+5=(u-1)(u-5)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-4,\quad x=\log_23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=10,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{5}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=26t^2-20t+26 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{288}{13},\quad t=\frac{5}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-5x}(1-5x)\)。指数因子は正なので \(x=1/5\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{5},\quad\max f=\frac1{5e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{5x+1}{25}e^{-5x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(5a+1)e^{-5a}}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-5a}\) と \(ae^{-5a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{5}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{5\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{25}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(5\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=5,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=13,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。