南山大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第086回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係と対称式
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 解と係数の関係と対称式（25点）
方程式 \\(x^2-84x+1568=0\\) の2解をα,βとする。
（1）2解を求めなさい。（7点）
（2）解の2乗の和を求めなさい。（7点）
（3）解の差の絶対値と逆数の和を求めなさい。（11点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-56x+756\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-84x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=28\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{84} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=28、AC=56、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係と対称式
（1）
\((x-28)(x-56)=0\) と因数分解する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の和の2乗から解の積の2倍を引いても計算できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
2解を代入し、差の絶対値をとる。逆数の和は解の和を積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-28)^2-28\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-28)^2=28\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-56)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=56で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-2352\)、接点のy座標は \(-43904\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。