南山大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第042回
この回のテストポイント
- 第1問：2群のデータを合わせた平均と分散
- 第2問：二次方程式の解の符号
- 第3問：対数の真数条件と単調性
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散（25点）
それぞれ27個のデータをもつ2群がある。第1群の平均は27、第2群の平均は29、両群の分散は1である。
（1）全データの平均を求めなさい。（7点）
（2）各群の平均を中心とする偏差の2乗和を求めなさい。（7点）
（3）全データの分散を求めなさい。（11点）
第2問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+729=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第3問 対数の真数条件と単調性（25点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-27)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（7点）
（2）\(F(x)=\log_2 1458\) を解きなさい。（7点）
（3）\(F(x)\le\log_2 1458\) を解きなさい。（11点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=27、AC=54、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散
（1）
個数が同じなので2つの平均の平均をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
分散は偏差の2乗和を個数で割った値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全体の平均から各群の平均は1ずつ離れている。偏差を展開すると一次の項の和は0。群内分散1に平均間の分散1が加わる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-729)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(729\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-27)=1458\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。