南山大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第010回
この回のテストポイント
- 第1問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第2問：絶対値の和と場合分け
- 第3問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から50までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを25より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
第2問 絶対値の和と場合分け（25点）
\(f(x)=|x-25|+|x+25|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）
（3）不等式 \(f(x)\le 75\) を解きなさい。（11点）
第3問 円と直線の交点数・弦の長さ（25点）
円 \\(x^2+y^2=625\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=25、AC=50、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(25-\lfloor25/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-25,25\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 75\)、\(2x\le 75\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-625=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。