南山大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第002回
この回のテストポイント
- 第1問：2群のデータを合わせた平均と分散
- 第2問：直角三角形の三角比と内接円
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：委員選出と余事象の数え上げ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散（25点）
それぞれ23個のデータをもつ2群がある。第1群の平均は23、第2群の平均は25、両群の分散は1である。
（1）全データの平均を求めなさい。（7点）
（2）各群の平均を中心とする偏差の2乗和を求めなさい。（7点）
（3）全データの分散を求めなさい。（11点）
第2問 直角三角形の三角比と内接円（25点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=23、AC=46とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(23)=0\)、\(P(-23)=24334\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-46\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 委員選出と余事象の数え上げ（25点）
男子23人、女子23人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 2群のデータを合わせた平均と分散
（1）
個数が同じなので2つの平均の平均をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
分散は偏差の2乗和を個数で割った値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全体の平均から各群の平均は1ずつ離れている。偏差を展開すると一次の項の和は0。群内分散1に平均間の分散1が加わる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
面積は \(529\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-23)\(x^2+23x-529\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。