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名古屋大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第047回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　完全順列の漸化式と固定点（17点）

\(26\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（5点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（5点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（7点）

第2問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(26-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{507}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{2704}+\frac{y^2}{676}=1 \]

の第1象限の点 \(P(52\cos t,26\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le26\) とする。\(0\le x\le26\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第5問　等周条件と三角形の面積（16点）

周の長さが \(156\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{26+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{26n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{26}=148362637348470135821287825 \]

。全割当ては \(26!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{5934505493938805432851513}{16131658445064225423360000}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/26\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<26\)。\(x(26-x)=676/4-(x-26/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,676/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<26,\quad a\le\log_2 169} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 169:2\text{個};\quad a=\log_2 169:1\text{個};\quad a>\log_2 169:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(26-x)=\frac{507}{4}\) を解く。2つの解の和は \(26\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{13}{2},\ \frac{39}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{52}+\frac{y\sin t}{26}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(52/\cos t\)、\(26/\sin t\)。面積は \(676/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1352,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(676\(1-x^2/2704\)\)。\(-52\le x\le52\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{140608}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le26\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{26}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-338a+\frac{17576}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-338\)。定義域内で \(a=26/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=13\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{8788}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=156-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=156-2a,\quad 39<a<78} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=78(78-a)^2(2a-78)\)。微分すると \((S^2)'=468(78-a)(52-a)\)。存在範囲で \(a=52\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=52,\quad S_{\max}=676\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

半周長は \(78\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=78r\)。

\[ \boxed{r=\frac{26}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{26+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{26+j/n} \]

は \(g(x)=1/(26+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{26+x}\,dx=[\frac23(26+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(81\sqrt{3}-26\sqrt{26})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{26+x}\,dx=[\log(26+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{27}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。