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名古屋大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第042回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　完全順列の漸化式と固定点（17点）

\(14\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（5点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（5点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（7点）

第2問　三角関数を二次関数に置き換える（17点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+14\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=14\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-14|=2|z+14|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le14\) とする。\(0\le x\le14\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第5問　空間の垂線と四面体（16点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(14,0,0),B(0,28,0),C(0,0,42) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{14+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{14n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{14}=32071101049\)。全割当ては \(14!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{2467007773}{6706022400}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/14\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=14+t-28t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=14+\frac1{112}-28(t-\frac1{56})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=14\)、\(f(1)=-13\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{1569}{112}\ (\sin\theta=\frac1{56}),\quad\min f=-13\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-28t^2=0\) の解は0と \(1/28\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-14)^2+y^2=4((x+14)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{70}{3})^2+y^2=\frac{3136}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(70/3\)、半径は \(56/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=42\ (z=-42),\quad\min|z|=\frac{14}{3}\ (z=-\frac{14}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-14w|=2|1+14w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{42})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{4}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le14\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{14}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-98a+\frac{2744}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-98\)。定義域内で \(a=14/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=7\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1372}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=84} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=84\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{72}{7},\frac{36}{7},\frac{24}{7}),\quad OH=12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底面OABの面積は \(196\)、Cからこの底面までの高さは \(42\) なので体積は \(2744\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{686} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{14+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{14+j/n} \]

は \(g(x)=1/(14+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{14+x}\,dx=[\frac23(14+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(15\sqrt{15}-14\sqrt{14})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{14+x}\,dx=[\log(14+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{15}{14}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。