明治学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第015回
この回のテストポイント
- 第1問：指数方程式・不等式と置換
- 第2問：直角三角形の三角比と内接円
- 第3問：内分点・内積・三角形の面積
- 第4問：委員選出と余事象の数え上げ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 指数方程式・不等式と置換（25点）
\(F(x)=4^x-19\cdot2^x+18\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（7点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（7点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（11点）
第2問 直角三角形の三角比と内接円（25点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=18、AC=36とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）
第3問 内分点・内積・三角形の面積（25点）
A(0,0)、B(36,0)、C(0,36)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）
第4問 委員選出と余事象の数え上げ（25点）
男子18人、女子18人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-19u+18=(u-1)(u-18)\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
面積は \(324\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。