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明治大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第098回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　集合の包含と人数の計算（17点）

45人のクラスで、集合Aの人数は27人、集合Bは18人、両方に属する人数は9人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第2問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{324}+\frac{y^2}{81}=1 \]

の第1象限の点 \(P(18\cos t,9\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{9+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{9n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(9,0,0),B(0,18,0),C(0,0,27) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第5問　等差数列の一般項・和・境界（16点）

初項9、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）\(a_n\ge 27\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

第6問　三角関数を二次関数に置き換える（16点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+9\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=9\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{36} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{9} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{18}+\frac{y\sin t}{9}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(18/\cos t\)、\(9/\sin t\)。面積は \(81/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=162,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(81\(1-x^2/324\)\)。\(-18\le x\le18\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{1944\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{9+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{9+j/n} \]

は \(g(x)=1/(9+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{9+x}\,dx=[\frac23(9+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(10\sqrt{10}-27)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{9+x}\,dx=[\log(9+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{10}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=54} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=54\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{324}{49},\frac{162}{49},\frac{108}{49}),\quad OH=\frac{54}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(81\)、Cからこの底面までの高さは \(27\) なので体積は \(729\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{567}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=9+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+8)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{10} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=9+t-18t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平方完成より

\[ f=9+\frac1{72}-18(t-\frac1{36})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=9\)、\(f(1)=-8\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{649}{72}\ (\sin\theta=\frac1{36}),\quad\min f=-8\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(t-18t^2=0\) の解は0と \(1/18\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。