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明治大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第091回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を13回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=13,B=13i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{26}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{27}\) を求めなさい。（7点）

第4問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(13,0,0),B(0,26,0),C(0,0,39) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=14,\ a_{n+2}=14a_{n+1}-13a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-26x+156\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(13\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{39}{4096}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{8191}{8192}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{78}{8191}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{13}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=13\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{169}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{13}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{13}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(13\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{1300075}{16777216}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(13\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{8388608}{35102025}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=78} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=78\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{468}{49},\frac{234}{49},\frac{156}{49}),\quad OH=\frac{78}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(169\)、Cからこの底面までの高さは \(39\) なので体積は \(2197\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{1183}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=13(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(13\) なので \(a_{n+1}-a_n=13^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{13^n-1}{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(13-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{13(13^n-1)-12n}{144}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=13a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-13a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-13)^2-13\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-13,\quad x=13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-13)^2=13\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=13\pm\sqrt{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{13-\sqrt{13}\le x\le 13+\sqrt{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。