明治大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第027回
この回のテストポイント
- 第1問：反射による経路の数え上げ
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：区分求積と和の極限
- 第4問：空間の垂線と四面体
- 第5問：等差数列の一般項・和・境界
- 第6問：三角関数を二次関数に置き換える
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 反射による経路の数え上げ（17点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(42\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^21=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{20}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{20}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{20}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第4問 空間の垂線と四面体（17点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）
第5問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項21、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 63\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 三角関数を二次関数に置き換える（16点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=21\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(21\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(22\) 回、左が \(20\) 回なので \(\binom{42}{20}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{42}{21}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/22\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(21\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{20}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{20}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{21+x}\)、
は \(g(x)=1/(21+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=126\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底面OABの面積は \(441\)、Cからこの底面までの高さは \(63\) なので体積は \(9261\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=21\)、\(f(1)=-20\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(t-42t^2=0\) の解は0と \(1/42\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。