明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第083回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：線分上の点と内積・最大最小
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-51x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=17\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{51} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第2問 委員選出と余事象の数え上げ（25点）
男子17人、女子17人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(17)=0\)、\(P(-17)=9826\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-34\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 線分上の点と内積・最大最小（25点）
\(O(0,0),B(34,0),C(0,17)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-34)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=34で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-867\)、接点のy座標は \(-9826\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-17)\(x^2+17x-289\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-34,17)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
長方形の面積は
。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。