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明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=26,\ a_{n+2}=26a_{n+1}-25a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　標本平均と片側検定・必要標本数（25点）

ある母集団の母標準偏差は \(25\) で既知とする。独立な \(2500\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（7点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（7点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（11点）

第3問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(25-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{1875}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第4問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-625)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=25(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(25\) なので \(a_{n+1}-a_n=25^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{25^n-1}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(25-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{25(25^n-1)-24n}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=25a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-25a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=25/\sqrt{2500}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot25/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot25)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{9604} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<25\)。\(x(25-x)=625/4-(x-25/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,625/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<25,\quad a\le\log_2 \frac{625}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{625}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{625}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{625}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(25-x)=\frac{1875}{16}\) を解く。2つの解の和は \(25\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{25}{4},\ \frac{75}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=625\)。

\[ \boxed{y=50x-625,\quad y=-50x-625} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm25,625)\)。底辺の長さは \(50\)、Pから底辺までの高さは \(1250\)。

\[ \boxed{31250} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-25)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{25}(x-25)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{31250}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。