明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第065回
この回のテストポイント
- 第1問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第2問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第3問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三項間漸化式と互いに素の証明（25点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）
第2問 標本平均と片側検定・必要標本数（25点）
ある母集団の母標準偏差は \(4\) で既知とする。独立な \(64\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（7点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（7点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（11点）
第3問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(4)=0\)、\(P(-4)=128\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-8\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-16)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(4\) なので \(a_{n+1}-a_n=4^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入して \(1/(4-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=4a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-4a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot4/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot4)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-4)\(x^2+4x-16\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=16\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm4,16)\)。底辺の長さは \(8\)、Pから底辺までの高さは \(32\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-4)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{4}(x-4)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。