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明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第061回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le4\) とする。\(0\le x\le4\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(4\) 個、青玉 \(8\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（25点）

実数全体で \(f(x)=x^2-8x+12\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）

第4問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(4,1),\ \mathbf b=(1,4) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le4\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{4}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-8a+\frac{64}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-8\)。定義域内で \(a=4/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=2\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{32}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((4-1)/(12-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{8(8-1)}{12(12-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(4-1)<20-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-4)^2-4\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-4,\quad x=4} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\((x-4)^2=4\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=4\pm\sqrt{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{4-\sqrt{4}\le x\le 4+\sqrt{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=8,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{8}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=17t^2-16t+17 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{225}{17},\quad t=\frac{8}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。