明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第053回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第3問：対数方程式の存在条件
- 第4問：円と直線の交点数・弦の長さ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-21x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=7\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{21} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第2問 標本平均と片側検定・必要標本数（25点）
ある母集団の母標準偏差は \(7\) で既知とする。独立な \(196\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（7点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（7点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（11点）
第3問 対数方程式の存在条件（25点）
\(\log_2 x+\log_2(7-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）
（3）\(a=\log_2 \frac{147}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ（25点）
円 \\(x^2+y^2=49\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-14)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=14で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-147\)、接点のy座標は \(-686\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot7/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot7)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<7\)。\(x(7-x)=49/4-(x-7/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,49/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(x(7-x)=\frac{147}{16}\) を解く。2つの解の和は \(7\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-49=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。