J 受験ヒーロー

明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=28,\ a_{n+2}=28a_{n+1}-27a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　委員選出と余事象の数え上げ（25点）

男子27人、女子27人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）

第3問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(27-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{2187}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第4問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(27,1),\ \mathbf b=(1,27) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=27(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(27\) なので \(a_{n+1}-a_n=27^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{27^n-1}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(27-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{27(27^n-1)-26n}{676}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=27a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-27a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{24804} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{9477} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{18954} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<27\)。\(x(27-x)=729/4-(x-27/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,729/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<27,\quad a\le\log_2 \frac{729}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{729}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{729}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{729}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(27-x)=\frac{2187}{16}\) を解く。2つの解の和は \(27\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{27}{4},\ \frac{81}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=54,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{730}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{27}{365}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=730t^2-108t+730 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{264992}{365},\quad t=\frac{27}{365}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。