明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第022回
この回のテストポイント
- 第1問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第2問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第3問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第4問：円と直線の交点数・弦の長さ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=15,\ a_{n+1}=2a_n+15\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第2問 標本平均と片側検定・必要標本数（25点）
ある母集団の母標準偏差は \(15\) で既知とする。独立な \(900\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（7点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（7点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（11点）
第3問 三角関数を二次関数に置き換える（25点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=15\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ（25点）
円 \\(x^2+y^2=225\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+15=2(a_n+15)\) なので \(a_n+15=30\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=15(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot15/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot15)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=15\)、\(f(1)=-14\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(t-30t^2=0\) の解は0と \(1/30\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-225=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。