明治大学 政治経済学部・統計を含む 数学記述模試 第016回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値を含む面積の最適化
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 絶対値を含む面積の最適化（25点）
\(0\le a\le21\) とする。\(0\le x\le21\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（25点）
袋に赤玉 \(21\) 個、青玉 \(42\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）
第3問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-42x+420\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-441)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le21\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(S'(a)=a^2-\frac{441}{2}\)。定義域内で \(a=21/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((21-1)/(63-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{42(42-1)}{63(63-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(21-1)<105-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-21)^2-21\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-21)^2=21\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=441\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm21,441)\)。底辺の長さは \(42\)、Pから底辺までの高さは \(882\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-21)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{21}(x-21)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。