明治大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第096回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第2問：集合の包含と人数の計算
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数を二次関数に置き換える（25点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=27\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）
第2問 集合の包含と人数の計算（25点）
135人のクラスで、集合Aの人数は81人、集合Bは54人、両方に属する人数は27人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=27,\ a_{n+1}=2a_n+27\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第4問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-729)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=27\)、\(f(1)=-26\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(t-54t^2=0\) の解は0と \(1/54\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+27=2(a_n+27)\) なので \(a_n+27=54\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=27(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=729\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm27,729)\)。底辺の長さは \(54\)、Pから底辺までの高さは \(1458\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-27)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{27}(x-27)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。