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明治大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第059回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(13-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{507}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(13\) 個、青玉 \(26\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（25点）

\(a_n=\frac1{(n+13)(n+14)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）

（3）\(S_n\ge\frac1{28}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(78\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<13\)。\(x(13-x)=169/4-(x-13/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,169/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<13,\quad a\le\log_2 \frac{169}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{169}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{169}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{169}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(13-x)=\frac{507}{16}\) を解く。2つの解の和は \(13\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{13}{4},\ \frac{39}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((13-1)/(39-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{2}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{26(26-1)}{39(39-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(13-1)<65-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+13}-\frac1{n+14}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{14(n+14)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{14} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=78-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=78-2a,\quad \frac{39}{2}<a<39} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=39(39-a)^2(2a-39)\)。微分すると \((S^2)'=234(39-a)(26-a)\)。存在範囲で \(a=26\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=26,\quad S_{\max}=169\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(39\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=39r\)。

\[ \boxed{r=\frac{13}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。