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明治大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第033回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（25点）

実数全体で \(f(x)=x^2-10x+20\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(5\) 個、青玉 \(10\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（25点）

\(a_n=\frac1{(n+5)(n+6)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）

（3）\(S_n\ge\frac1{12}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）

第4問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(10,0),C(0,5)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-5)^2-5\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-5,\quad x=5} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\((x-5)^2=5\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=5\pm\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{5-\sqrt{5}\le x\le 5+\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((5-1)/(15-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{2}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{10(10-1)}{15(15-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(5-1)<25-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+5}-\frac1{n+6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{6(n+6)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{6} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(10(1-t),5t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=25(5t^2-8t+4)=525(t-4/5)^2+425/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-10,5)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(2,4),\quad\min OP=2\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は

\[ 50t(1-t)=\frac{25}{2}-50(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{25}{2},\quad P=(5,\frac{5}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。