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九州大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第090回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=900\\) 上の点 \(P(t,900/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(180\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le30\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{30}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第4問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(30)=0\)、\(P(-30)=54000\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-60\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を30回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=31,\ a_{n+2}=31a_{n+1}-30a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=900/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-900/t=-900(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{900}=2,\quad(2t,0),(0,1800/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1800/t\)。その積が \(3600\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1800} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1800/t\ge120\)。等号は \(t=30\) のとき。

\[ \boxed{\min=120,\quad P=(30,30)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=180-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=180-2a,\quad 45<a<90} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=90(90-a)^2(2a-90)\)。微分すると \((S^2)'=540(90-a)(60-a)\)。存在範囲で \(a=60\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=60,\quad S_{\max}=900\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(90\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=90r\)。

\[ \boxed{r=10\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<30\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log30+1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1800,\quad b=27000} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-30)\(x^2+30x-900\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=30,15(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{135000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(30\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{435}{1073741824}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1073741823}{1073741824}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{145}{357913941}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=30(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(30\) なので \(a_{n+1}-a_n=30^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{30^n-1}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(30-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{30(30^n-1)-29n}{841}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=30a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-30a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。