J 受験ヒーロー

九州大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=49\\) 上の点 \(P(t,49/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(7,0,0),B(0,14,0),C(0,0,21) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{7+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{7n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(7-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{147}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を7回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le7\) とする。\(0\le x\le7\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=49/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-49/t=-49(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{49}=2,\quad(2t,0),(0,98/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(98/t\)。その積が \(196\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{98} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+98/t\ge28\)。等号は \(t=7\) のとき。

\[ \boxed{\min=28,\quad P=(7,7)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=42} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=42\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{36}{7},\frac{18}{7},\frac{12}{7}),\quad OH=6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(49\)、Cからこの底面までの高さは \(21\) なので体積は \(343\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{343}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{7+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{7+j/n} \]

は \(g(x)=1/(7+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{7+x}\,dx=[\frac23(7+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(16\sqrt{2}-7\sqrt{7})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{7+x}\,dx=[\log(7+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{8}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<7\)。\(x(7-x)=49/4-(x-7/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,49/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<7,\quad a\le\log_2 \frac{49}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{49}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{49}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{49}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(7-x)=\frac{147}{16}\) を解く。2つの解の和は \(7\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{7}{4},\ \frac{21}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(7\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{21}{128}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{127}{128}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{21}{127}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le7\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{7}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{49}{2}a+\frac{343}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{49}{2}\)。定義域内で \(a=7/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{7}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{343}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。