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九州大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第059回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-16|=2|z+16|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第2問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(96\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le16\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{16}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第4問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(16)=0\)、\(P(-16)=8192\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-32\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を16回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=17,\ a_{n+2}=17a_{n+1}-16a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-16)^2+y^2=4((x+16)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{80}{3})^2+y^2=\frac{4096}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(80/3\)、半径は \(64/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=48\ (z=-48),\quad\min|z|=\frac{16}{3}\ (z=-\frac{16}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-16w|=2|1+16w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{48})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{144}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=96-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=96-2a,\quad 24<a<48} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=48(48-a)^2(2a-48)\)。微分すると \((S^2)'=288(48-a)(32-a)\)。存在範囲で \(a=32\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=32,\quad S_{\max}=256\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(48\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=48r\)。

\[ \boxed{r=\frac{16}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<16\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log16+1}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-512,\quad b=4096} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-16)\(x^2+16x-256\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=16,8(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{20480} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(16\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{15}{8192}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{65535}{65536}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{8}{4369}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=16(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(16\) なので \(a_{n+1}-a_n=16^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{16^n-1}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(16-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{16(16^n-1)-15n}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=16a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-16a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。