九州大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第045回
この回のテストポイント
- 第1問：双曲線の接線と不変な面積
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：区分求積と和の極限
- 第4問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第5問：完全順列の漸化式と固定点
- 第6問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=729\\) 上の点 \(P(t,729/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=729\\) の内部の点 \(Q(\frac{27}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第3問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第4問 剰余定理と三次式の因数分解（17点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(27)=0\)、\(P(-27)=39366\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（5点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）
（3）P(x)を \(x-54\) で割った余りを求めなさい。（7点）
第5問 完全順列の漸化式と固定点（16点）
\(27\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
第6問 重解を使う三次曲線の面積（16点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-2187x\) の \(x=27\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（4点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（4点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=729/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-729/t=-729(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1458/t\)。その積が \(2916\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1458/t\ge108\)。等号は \(t=27\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{27}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{2187}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{27}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{729m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{729-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le27/2\)。面積の2乗は \(d^2(729-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(729-s)\) は \(0\le s\le729/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{27+x}\)、
は \(g(x)=1/(27+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(P(x)=(x-27)\(x^2+27x-729\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると
。全割当ては \(27!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/27\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(27)=0\) なので \(l:y=-39366\)。差は \((x-27)^2(x+54)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
区間 \([-54,27]\) では差は非負。
。原始関数は
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。