九州大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第032回
この回のテストポイント
- 第1問：楕円の接線と切片・回転体
- 第2問：線分上の点と内積・最大最小
- 第3問：対数の評価と部分積分
- 第4問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第5問：反復試行と条件付き確率
- 第6問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(12\cos t,6\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第2問 線分上の点と内積・最大最小（17点）
\(O(0,0),B(12,0),C(0,6)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（5点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（5点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（7点）
第3問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le6\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第4問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=6\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第5問 反復試行と条件付き確率（16点）
公平な硬貨を6回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）
第6問 重解を使う三次曲線の面積（16点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-108x\) の \(x=6\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（4点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（4点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(12/\cos t\)、\(6/\sin t\)。面積は \(36/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(36\(1-x^2/144\)\)。\(-12\le x\le12\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-12,6)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
長方形の面積は \(72t(1-t)=18-72(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<6\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=6\)、\(f(1)=-5\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-12t^2=0\) の解は0と \(1/12\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(6\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(6)=0\) なので \(l:y=-432\)。差は \((x-6)^2(x+12)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
区間 \([-12,6]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-54x^2+432x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
非負の横座標の部分は \(\int_0^{6}(f(x)+432)\,dx=972\)。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。