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九州大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第098回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（25点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(28)=0\)、\(P(-28)=43904\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（7点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）

（3）P(x)を \(x-56\) で割った余りを求めなさい。（11点）

第2問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-784)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(28\) 個、青玉 \(56\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=29,\ a_{n+2}=29a_{n+1}-28a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1568,\quad b=21952} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(P(x)=(x-28)\(x^2+28x-784\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=28,14(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{109760} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=784\)。

\[ \boxed{y=56x-784,\quad y=-56x-784} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm28,784)\)。底辺の長さは \(56\)、Pから底辺までの高さは \(1568\)。

\[ \boxed{43904} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-28)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{28}(x-28)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{43904}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((28-1)/(84-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{9}{83}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{56(56-1)}{84(84-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{27}{139}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(28-1)<140-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{27}{139}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=28(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(28\) なので \(a_{n+1}-a_n=28^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{28^n-1}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(28-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{28(28^n-1)-27n}{729}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=28a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-28a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。