九州大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第066回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第2問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第3問：完全順列の漸化式と固定点
- 第4問：逆数で線形化し差を足す
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数を二次関数に置き換える（25点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=21\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）
第2問 放物線の接線と囲まれた面積（25点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-441)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）
第3問 完全順列の漸化式と固定点（25点）
\(21\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）
第4問 逆数で線形化し差を足す（25点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=21\)、\(f(1)=-20\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(t-42t^2=0\) の解は0と \(1/42\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=441\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
接点は \((\pm21,441)\)。底辺の長さは \(42\)、Pから底辺までの高さは \(882\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-21)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{21}(x-21)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{21}=18795307255050944540\)。全割当ては \(21!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/21\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。