京都産業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第087回
この回のテストポイント
- 第1問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第2問：三角関数の積分漸化式
- 第3問：データの変換と分散
- 第4問：対数の真数条件と単調性
- 第5問：内分点・内積・三角形の面積
- 第6問：双曲線の接線と不変な面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 非復元抽出の組合せと期待値（17点）
袋に赤玉48個、青玉24個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）
第2問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{48}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{49}\) を求めなさい。（7点）
第3問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(22,23,24,25,26\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第4問 対数の真数条件と単調性（17点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-24)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（5点）
（2）\(F(x)=\log_2 1152\) を解きなさい。（5点）
（3）\(F(x)\le\log_2 1152\) を解きなさい。（7点）
第5問 内分点・内積・三角形の面積（16点）
A(0,0)、B(48,0)、C(0,48)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）
第6問 双曲線の接線と不変な面積（16点）
第1象限の双曲線 \\(xy=576\\) 上の点 \(P(t,576/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(24\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(24\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(24\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-24)=1152\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=576/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-576/t=-576(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1152/t\)。その積が \(2304\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1152/t\ge96\)。等号は \(t=24\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。