J 受験ヒーロー

京都産業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第035回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を8回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第2問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{8+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{8n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第3問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+64=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第4問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(8)=0\)、\(P(-8)=1024\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-16\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第5問　内分点・内積・三角形の面積（16点）

A(0,0)、B(16,0)、C(0,16)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-8|=2|z+8|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(8\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{7}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{255}{256}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{28}{255}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{8+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{8+j/n} \]

は \(g(x)=1/(8+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{8+x}\,dx=[\frac23(8+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(27-16\sqrt{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{8+x}\,dx=[\log(8+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{9}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-64)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-8\ \text{または}\ t\ge8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(64\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-128,\quad b=512} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-8)\(x^2+8x-64\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=8,4(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{2560} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(8,0),\quad Q=(\frac{32}{3},\frac{16}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{256}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{64}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-8)^2+y^2=4((x+8)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{40}{3})^2+y^2=\frac{1024}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(40/3\)、半径は \(32/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=24\ (z=-24),\quad\min|z|=\frac{8}{3}\ (z=-\frac{8}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-8w|=2|1+8w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{24})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。