京都産業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第020回
この回のテストポイント
- 第1問：反復試行と条件付き確率
- 第2問：区分求積と和の極限
- 第3問：直角三角形の三角比と内接円
- 第4問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第5問：等差数列の一般項・和・境界
- 第6問：1の累乗根と積・距離の和
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を27回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第2問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第3問 直角三角形の三角比と内接円（17点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=27、AC=54とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-81x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=27\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{81} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第5問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項27、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 81\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^27=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{26}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{26}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{26}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(27\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{27+x}\)、
は \(g(x)=1/(27+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
面積は \(729\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-54)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=54で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-2187\)、接点のy座標は \(-39366\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(27\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{26}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{26}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。