京都産業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第009回
この回のテストポイント
- 第1問：合同な2円の交点と共通弦
- 第2問：区分求積と和の極限
- 第3問：二次方程式の解の符号
- 第4問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第5問：内分点・内積・三角形の面積
- 第6問：1の累乗根と積・距離の和
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 合同な2円の交点と共通弦（17点）
中心O(0,0)、A(7,0)、半径がともに7の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）
第2問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{7n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第3問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+49=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第4問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-21x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=7\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{21} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第5問 内分点・内積・三角形の面積（16点）
A(0,0)、B(14,0)、C(0,14)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）
第6問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^7=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{6}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{6}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{6}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{7}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{7+x}\)、
は \(g(x)=1/(7+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-49)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(49\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-14)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=14で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-147\)、接点のy座標は \(-686\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(7\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{6}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{6}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。