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京都大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第073回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(14,0,0),B(0,28,0),C(0,0,42) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le14\) とする。\(0\le x\le14\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(14\) 個、青玉 \(28\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 28\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+196\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=84} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=84\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{72}{7},\frac{36}{7},\frac{24}{7}),\quad OH=12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(196\)、Cからこの底面までの高さは \(42\) なので体積は \(2744\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{686} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le14\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{14}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-98a+\frac{2744}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-98\)。定義域内で \(a=14/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=7\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1372}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((14-1)/(42-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{13}{123}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{28(28-1)}{42(42-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{13}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(14-1)<70-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{13}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+196-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}196&t\le0\\196-t^2&0<t<28\\980-56t&t\ge28\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-14\le t\le 14\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le14} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>14\) または \(t<-14\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>14\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(28)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(980-56t\)。

\[ \boxed{14<t\le \frac{35}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。