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京都大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第071回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=196\\) の内部の点 \(Q(7,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=15,\ a_{n+2}=15a_{n+1}-14a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(14\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第4問　三次方程式の実数解の個数（25点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-588x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=7\) を円の式に代入する。\\(y^2=147\\)。

\[ \boxed{(7,\pm 7\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-7m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{196m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{196-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=14\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le14/2\)。面積の2乗は \(d^2(196-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(196-s)\) は \(0\le s\le196/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=49\sqrt{3},\quad x=7} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=14(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(14\) なので \(a_{n+1}-a_n=14^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{14^n-1}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(14-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{14(14^n-1)-13n}{169}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=14a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-14a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{14}=32071101049\)。全割当ては \(14!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{2467007773}{6706022400}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/14\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-14)(x+14)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-14\) で極大、\(x=14\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }5488,\quad\text{極小値 }-5488} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-5488<a<5488} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a=5488\) では \(f(x)-a=(x-28)(x+14)^2\)。\(a=-5488\) では \(f(x)-a=(x+28)(x-14)^2\)。

\[ \boxed{a=5488:x=-14,28;\quad a=-5488:x=-28,14} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。