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京都大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第069回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-900)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le30\) とする。\(0\le x\le30\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(30\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第4問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(30-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{675}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=900\)。

\[ \boxed{y=60x-900,\quad y=-60x-900} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm30,900)\)。底辺の長さは \(60\)、Pから底辺までの高さは \(1800\)。

\[ \boxed{54000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-30)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{30}(x-30)^2\,dx\)。

\[ \boxed{18000} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le30\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{30}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-450a+9000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-450\)。定義域内で \(a=30/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=15\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=4500(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{30}=97581073836835777732377428235481 \]

。全割当ては \(30!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{3364864615063302680426807870189}{9146650338351415815045120000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/30\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<30\)。\(x(30-x)=900/4-(x-30/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,900/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<30,\quad a\le\log_2 225} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 225:2\text{個};\quad a=\log_2 225:1\text{個};\quad a>\log_2 225:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(30-x)=\frac{675}{4}\) を解く。2つの解の和は \(30\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{15}{2},\ \frac{45}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。