関西学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第054回
この回のテストポイント
- 第1問：1の累乗根と積・距離の和
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：絶対値の和と場合分け
- 第5問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第6問：三角関数の積分漸化式
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^32=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{31}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{31}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{31}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(32\) 個、青玉 \(64\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-96x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=32\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{96} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 絶対値の和と場合分け（17点）
\(f(x)=|x-32|+|x+32|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）
（3）不等式 \(f(x)\le 96\) を解きなさい。（7点）
第5問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=1024\\) の内部の点 \(Q(16,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
第6問 三角関数の積分漸化式（16点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）
（2）\(I_{64}\) を求めなさい。（4点）
（3）\(I_{65}\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(32\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{31}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{31}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((32-1)/(96-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{64(64-1)}{96(96-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(32-1)<160-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-64)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=64で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-3072\)、接点のy座標は \(-65536\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-32,32\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 96\)、\(2x\le 96\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=16\) を円の式に代入する。\\(y^2=768\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-16m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{1024m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{1024-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le32/2\)。面積の2乗は \(d^2(1024-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(1024-s)\) は \(0\le s\le1024/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(32\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(32\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。