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関西学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第005回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=16\\) 上の点 \(P(t,16/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から8までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを4より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）

\(a_1=4,\ a_{n+1}=2a_n+4\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）

第4問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-8x+12\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(4,1),\ \mathbf b=(1,4) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le4\) で曲線 \(y=x(4-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=16/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-16/t=-16(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{16}=2,\quad(2t,0),(0,32/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(32/t\)。その積が \(64\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+32/t\ge16\)。等号は \(t=4\) のとき。

\[ \boxed{\min=16,\quad P=(4,4)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(4-\lfloor4/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+4=2(a_n+4)\) なので \(a_n+4=8\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=4(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=4(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a_j/2^j=4(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{4(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-4)^2-4\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-4,\quad x=4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-4)^2=4\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=4\pm\sqrt{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{4-\sqrt{4}\le x\le 4+\sqrt{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=8,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{8}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=17t^2-16t+17 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{225}{17},\quad t=\frac{8}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{4}x(4-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{32}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(4-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{4}x^2(4-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{512}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le16/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(4\pm\sqrt{16-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=4\pi\sqrt{16-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{128}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。