関西学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第002回
この回のテストポイント
- 第1問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第2問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第5問：線分上の点と内積・最大最小
- 第6問：指数関数の最大値と積分の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-4|=2|z+4|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第2問 委員選出と余事象の数え上げ（17点）
男子4人、女子4人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-12x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=4\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{12} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=4\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第5問 線分上の点と内積・最大最小（16点）
\(O(0,0),B(8,0),C(0,4)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（4点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（4点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（8点）
第6問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-4x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-4)^2+y^2=4((x+4)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(20/3\)、半径は \(16/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-4w|=2|1+4w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-8)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=8で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-48\)、接点のy座標は \(-128\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=4\)、\(f(1)=-3\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-8t^2=0\) の解は0と \(1/8\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-8,4)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
長方形の面積は \(32t(1-t)=8-32(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-4x}(1-4x)\)。指数因子は正なので \(x=1/4\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{4x+1}{16}e^{-4x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-4a}\) と \(ae^{-4a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。