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関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第079回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+24\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=24\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第2問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(24,0,0),B(0,48,0),C(0,0,72) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第3問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/24,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から48までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを24より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=24+t-48t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=24+\frac1{192}-48(t-\frac1{96})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=24\)、\(f(1)=-23\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{4609}{192}\ (\sin\theta=\frac1{96}),\quad\min f=-23\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-48t^2=0\) の解は0と \(1/48\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{48}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=144} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=144\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{864}{49},\frac{432}{49},\frac{288}{49}),\quad OH=\frac{144}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(576\)、Cからこの底面までの高さは \(72\) なので体積は \(13824\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{2016} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{24}-\frac1{n+24}=\frac{n}{24(n+24)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+24}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(24-\lfloor24/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。