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関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第075回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（25点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(23)=0\)、\(P(-23)=24334\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（7点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）

（3）P(x)を \(x-46\) で割った余りを求めなさい。（11点）

第2問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(23,0,0),B(0,46,0),C(0,0,69) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=24,\ a_{n+2}=24a_{n+1}-23a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から46までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを23より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1058,\quad b=12167} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(P(x)=(x-23)\(x^2+23x-529\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=23,\frac{23}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{60835} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=138} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=138\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{828}{49},\frac{414}{49},\frac{276}{49}),\quad OH=\frac{138}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(529\)、Cからこの底面までの高さは \(69\) なので体積は \(12167\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{3703}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=23(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(23\) なので \(a_{n+1}-a_n=23^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{23^n-1}{22}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(23-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{23(23^n-1)-22n}{484}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=23a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-23a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(23-\lfloor23/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{6}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{12}{23},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。