関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第066回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：空間の垂線と四面体
- 第3問：部分分数分解と有限和の評価
- 第4問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（25点）
\(0\le x\le 22\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+121\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）
第2問 空間の垂線と四面体（25点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）
第3問 部分分数分解と有限和の評価（25点）
\(a_n=\frac1{(n+11)(n+12)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）
（3）\(S_n\ge\frac1{24}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から22までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを11より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+121-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-11\le t\le 11\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
判別式より \(t>11\) または \(t<-11\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>11\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(22)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(605-44t\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=66\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底面OABの面積は \(121\)、Cからこの底面までの高さは \(33\) なので体積は \(1331\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(11-\lfloor11/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。