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関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第064回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+6\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=6\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ（25点）

円 \\(x^2+y^2=36\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=7,\ a_{n+2}=7a_{n+1}-6a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(6\) 個、青玉 \(12\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=6+t-12t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=6+\frac1{48}-12(t-\frac1{24})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=6\)、\(f(1)=-5\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{289}{48}\ (\sin\theta=\frac1{24}),\quad\min f=-5\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-12t^2=0\) の解は0と \(1/12\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-36=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-6\sqrt2\le a\le6\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm6\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{144-2a^2},\quad\max L=12\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=6(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(6\) なので \(a_{n+1}-a_n=6^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{6^n-1}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(6-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{6(6^n-1)-5n}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=6a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-6a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((6-1)/(18-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{5}{51}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{12(12-1)}{18(18-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{5}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(6-1)<30-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{5}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。