関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第042回
この回のテストポイント
- 第1問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第2問：合同な2円の交点と共通弦
- 第3問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第4問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-20x+90\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第2問 合同な2円の交点と共通弦（25点）
中心O(0,0)、A(10,0)、半径がともに10の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）
第3問 三項間漸化式と互いに素の証明（25点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から20までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを10より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-10)^2-10\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-10)^2=10\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(5\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(10\) なので \(a_{n+1}-a_n=10^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入して \(1/(10-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=10a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-10a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(10-\lfloor10/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。