J 受験ヒーロー

関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第018回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　直角三角形の三角比と内接円（25点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=19、AC=38とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(19,0,0),B(0,38,0),C(0,0,57) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=20,\ a_{n+2}=20a_{n+1}-19a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(19\) 個、青玉 \(38\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=19\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

面積は \(361\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{38}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{19}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=114} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=114\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{684}{49},\frac{342}{49},\frac{228}{49}),\quad OH=\frac{114}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(361\)、Cからこの底面までの高さは \(57\) なので体積は \(6859\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{2527}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=19(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(19\) なので \(a_{n+1}-a_n=19^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{19^n-1}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(19-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{19(19^n-1)-18n}{324}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=19a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-19a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((19-1)/(57-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{3}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{38(38-1)}{57(57-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{9}{47}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(19-1)<95-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{9}{47}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。