関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第016回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：合同な2円の交点と共通弦
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（25点）
\(0\le x\le 38\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+361\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）
第2問 合同な2円の交点と共通弦（25点）
中心O(0,0)、A(19,0)、半径がともに19の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-57x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=19\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{57} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から38までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを19より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+361-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-19\le t\le 19\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
判別式より \(t>19\) または \(t<-19\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>19\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(38)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1805-76t\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{19}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-38)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=38で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-1083\)、接点のy座標は \(-13718\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(19-\lfloor19/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。