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関西学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第014回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+15\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=15\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ（25点）

円 \\(x^2+y^2=225\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）

\(a_1=15,\ a_{n+1}=2a_n+15\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から30までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを15より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=15+t-30t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=15+\frac1{120}-30(t-\frac1{60})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=15\)、\(f(1)=-14\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{1801}{120}\ (\sin\theta=\frac1{60}),\quad\min f=-14\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-30t^2=0\) の解は0と \(1/30\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-225=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-15\sqrt2\le a\le15\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm15\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{900-2a^2},\quad\max L=30\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+15=2(a_n+15)\) なので \(a_n+15=30\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=15(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=15(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a_j/2^j=15(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{15(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(15-\lfloor15/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{4}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{8}{15},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。